Soit \(q\) la forme quadratique sur \({\Bbb R}^3\) donnée par \(q(x,y,z)=y^2-2xz\)
Donner la forme polaire associée à \(q\)

On garde les termes de la diagonale et on "sépare" les autres termes en deux de manière à ce que la matrice de \(\sigma\) soit symétrique

$$\sigma(x,y)=x_2y_2-x_1y_3-x_3y_1$$

Soit \(q:{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) définie par $$q(x)=x_1^2+4x^2_2+9x_3^2+2x_1x_2+6x_2x_3$$ trouver la matrice de sa forme polaire

$$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&4&3\\ 0&3&9\end{pmatrix}$$

Soit \(q\) la forme quadratique sur \({\Bbb R}^3\) donnée par \(q(x,y,z)=y^2-2xz\)
Déterminer la matrice de \(q\) par rapport à la base canonique

On met les coefficients du côté "triangulaire supérieur"

$$B_q=\begin{pmatrix}0&0&-2\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$$

Soit \(q\) la forme quadratique sur \({\Bbb R}^3\) donnée par \(q(x,y,z)=y^2-2xz\)
La matrice de \(q\) par rapport à la base canonique est \(B_q=\begin{pmatrix}0&0&-2\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\)
Quelle est la matrice de \(q\) par rapport à la base \(((1,1,0),(0,1,1),(1,1,1))\) ?

Exprimer les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles
On a : $$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^\prime\\ y^\prime\\ z^\prime\end{pmatrix}\implies\begin{cases} x=x^\prime+y^\prime\\ y=x^\prime+y^\prime+z^\prime\\ z=y^\prime+z^\prime\end{cases}$$

Exprimer \(q\) en remplaçant les anciennes coordonnées par les nouvelles (via expressions obtenues précédemment)
Et donc : $$\begin{align} q(x^\prime,y^\prime,z^\prime)&=(x^\prime+y^\prime+z^\prime)^2-2(x^\prime+y^\prime)(y^\prime+z^\prime)\\ &=x^{\prime2}+y^{\prime2}-z^{\prime2}\end{align}$$

Vérification via un changement de base à partir de la forme polaire

$$\begin{align} A^\prime &=P^TAP\\ &=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&1&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\end{align}$$

(Changement de base (Calcul des coordonnées))

Montrer que l'application \(q:{\Bbb R}[x]\to{\Bbb R}\) définie par $$q(P)=\int^1_0P(x)P^{\prime\prime}(x)\,dx$$
Est une forme quadratique sur \({\Bbb R}[x]\)

Donner la forme polaire
Si \(q\) est une forme quadratique, alors \(\sigma(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}2\)
Dans notre cas, $$\sigma(P,Q)=\int^1_0{(P+Q)(P^{\prime\prime}+Q^{\prime\prime})-PP^{\prime\prime}-QQ^{\prime\prime}\over2}\,dx=\int^1_0\frac{QP^{\prime\prime}+PQ^{\prime\prime}}{2}\,dx$$

Montre que la forme polaire est bilinéaire et symétrique

\(\sigma\) est une forme bilinéaire par linéarité de l'intégrale et de la dérivée
Donc \(q\) est une forme quadratique

Soit \(P\) un plan vectoriel, \(q\) une forme quadratique non dégénérée sur \(P\)
On suppose qu'il existe un vecteur isotrope \(u\ne0\)
Montrer que l'on peut compléter en une base \(\{u,v\}\) de \(P\) telle que la matrice de \(q\) dans cette base soit \(\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\)

Compléter la base : possible car \(u\) est isotrope
On suppose que \(u\in\mathfrak I_q\setminus\ker\sigma\)
On complète \(u\) à une base \(\{u,w\}\) de \(P\)
Un tel vecteur \(w\) existe (\(u^\perp\notin E^\perp\)) et \(w\ne\lambda u\) car, sinon, $$\sigma(u,w)=\lambda\sigma(u,u)=0$$

\(0\) sur la diagonale \(\to\) le premier vecteur est \(u\ne0\) isotrope
Alors $$A_\sigma=\begin{pmatrix}0&*\\ *&*\end{pmatrix}$$

\(v\) est dans la base \(\to\) combinaison linéaire de \(u\) et \(w\)
On cherche \(v\) sous la forme $$v=\lambda u+\mu w$$

Déduire \(\lambda,\mu\) des cases restantes de la matrice

On sait qu'on doit avoir : $$\begin{cases}\sigma(u,v)=1\\ q(v)=0\end{cases}\implies\begin{cases}\sigma(u,\lambda u+\mu v)=1\\ \sigma(\lambda u+\mu v,\lambda u+\mu v)=0\end{cases}$$
Et donc : $$\begin{align}&\mu\underbrace{\sigma(u,w)}_{\ne0}=1\implies\mu=\frac1{\sigma(u,w)}\\ \quad\text{ et }\quad&2\lambda\cancel{\mu}\sigma(u,w)+\mu^{\cancel2}q(w)=0\implies\lambda=\frac{q(w)}{2\sigma^2(u,w)}\end{align}$$